一，指数积分函数
1.定义
$$
\mathrm{Ei}(x)=\int_{-\infty}^x \frac{e^t}{t} \mathrm{d} t ,\quad x\in\mathbb{W}
$$
这里的$\mathbb{W}\equiv \mathbb{R}^+ \backslash {0}={1,2,3,4,5…}$，用Risch Algorithm可以证明这个是非初等函数。
有个问题就是，如果我们想计算$x=0$处的函数值怎么办？
在0处，我们定义柯西主值积分。
$$
\mathrm{Ei}(x)=\lim_{\alpha\to 0}\left[\int_{-\infty}^{\alpha} \frac{e^t}{t}\mathrm{d} t+\int_{\alpha}^x \frac{e^t}{t}\mathrm{d} t\right]
$$
我们可以通过奇偶变换，定义用途更加广的函数。我们做下面的变换:
$$
t \to {-t} \quad x \to {-x}
$$
可以得到：
$$
\mathscr{E}_1(x)=-\mathrm{Ei}(-x)=\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t
$$
需要注意的是，我们上面都是在实数范围内取值的，如果把范围扩大到复数范围，那么怎么定义呢？
我们引入复数$z=x+iy$，我们采用下面的定义来定义复数内的积分:
$$
\mathscr{E}_1(x)=\int_z^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t,\quad |arg(z)<\pi|
$$
我们来看看在复数域内的图像
为了看清楚这两个函数，我用mathematica做出相关图像：
从图像上，我们可以理解得到以下特殊的函数值：
$$
\mathrm{Ei}(0)=-\infty \quad \mathrm{Ei}(-\infty) =0 \quad \mathrm{Ei}(+\infty)=+\infty
$$
$$
\mathscr{E}_1(0)=+\infty \quad \mathscr{E}_1(+\infty) =0 \quad \mathscr{E}_1(-\infty)=-\infty
$$
从图像中我们也可以看到:
$$
\mathscr{E}_1(x)=-\mathrm{Ei}(-x)
$$
我们注意到在区间$(0,+\infty)$,$\mathscr{E}_1(x)$是单调递减函数
事实上，这个$\mathscr{E}_1(x)$也是所谓的不完全伽马函数：
$$
\mathscr{E}_1(x)\equiv \Gamma(0,z)
$$
这里：
$$
\Gamma(s,z)=\int_z^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}\mathrm{d}t
$$
实际上就是把$s=0$带入，就可以得到$\mathscr{E}_1(x)$
下面我们引入小型不完全伽马函数
$$
\gamma(s,z)=\int_0^z t^{s-1}e^{-t}\mathrm{d}t
$$
我们可以看到三个伽马函数之间的关系：
$$
\Gamma(s,0)\equiv \gamma(s,z)+\Gamma(s,z)
$$
下面我们对$ \mathscr{E}_1(x) $ 做下面的一个变换：
$$ t\to zu \quad \mathrm{d}t=z\mathrm{d}u $$
我们一步一步写出来就有：
$$
\mathscr{E} _1(x)= \int _z^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t \xrightarrow {t \to zu}\int _{1}^{+\infty}\frac{e^{-zu}}{zu}z\mathrm{d}u=\int _{1}^{+\infty } \frac{e^{-zu}}{u}\mathrm{d}u
$$
这样我们就可以定义一般的指数积分函数
$$
\mathscr{E}_n(z)=\int _1^{+\infty} \frac{e^{-zu}}{u^n}\mathrm{d}u \quad n\in \mathbb{R}
$$
在0处有特殊值：
$$
\mathscr{E}_n(0)=\frac{1}{n-1}
$$
这里我们画出n=1，2，3，4，5对应的函数图像，来比较看看。
2.$\mathrm{Ei}(z)$的级数展开
然我回到最初的定义：
$$
\mathrm{Ei}(x)=\int_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t
$$
我们要做的是把积分分成三部分计算：
$$
\int_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{-1}^0\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{0}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t
$$
这里我们需要做一个小技巧，引入这个
$$
\int_{-1}^z\frac{dt}{t}
$$
于是，我们加一个这个，然后减掉一个这个。
$$
\int_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{-1}^0\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{0}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\quad \int_{-1}^z\frac{dt}{t}-\quad \int_{-1}^z\frac{dt}{t}
$$
紧接着我们把最后一项再次处理。
$$
\int_{-\infty}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{-1}^0\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{0}^z\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+ \int_{-1}^z\frac{dt}{t}-\int_{-1}^0\frac{dt}{t}-\int_{0}^z\frac{dt}{t}
$$
这似乎是一个奇怪的数学操作，但现在我们可以把类似的积分相加，就是把第二个和导数第二个相减,第三个和最后一个相减，我们就可以得到下列式子：
$$
\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t+\int_{-1}^0\frac{e^t-1}{t}\mathrm{d}t+\int_{0}^z\frac{e^t-1}{t}\mathrm{d}t+\int_{-1}^z\frac{\mathrm{d}t}{t}
$$
为了把第一项和第二项合并，我们需要做下面一个变换：
$$
\int_{-\infty}^{-1}\frac{e^t}{t}\mathrm{d}t\xrightarrow{t\to 1/t}\int_{-1}^{0}\frac{e^{1/t}}{t}\mathrm{d}t
$$
于是上面哪个式子就可以化简为
$$
\int_{-1}^0\frac{e^{1/t}+e^t-1}{t}\mathrm{d}+\int_{0}^z\frac{e^t-1}{t}\mathrm{d}t+\int_{-1}^z\frac{\mathrm{d}t}{t}
$$
现在我们有这样一个结论：
$$
\gamma=\int_0^1\frac{1-e^{-t}-e^{-1/t}}{t}\mathrm{d}t=-\psi(1)
$$
这个$\psi(1)$就是伽马函数的导数，也称为Digamma函数：
$$
\psi(z)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\Gamma(z)
$$
而这个$\gamma$就是著名的欧拉-马斯切罗尼常数
$$
\gamma=0.57721…
$$
关于$\psi(z),\gamma$以及上面的哪个结论是这么来的，我们留到后面证明。第一部分完。
