数学物理方法——基础知识（1）

本科期间学过数学物理方程，现在准备读研究生了，以后涉及到计算的方面比较多，因此现在我需要重新学习数学物理方程，捡回来原来的知识。

主要的参考书籍《数学物理方法》顾樵

[TOC]

第一章——基础理论知识

1.1常微分方程模型和求解（略过）

1.2 矢量微分算子和拉普拉斯算子

1.2.1矢量微分算子$\mathrm{\nabla}$

形如：
$$
\nabla=\frac{\part}{\part x}\vec{i}+\frac{\part}{\part y}\vec{j}+\frac{\part}{\part z}\vec{k}
$$
被称为矢量微分算子。

如果函数$u(x,y,z)$和矢量函数$\vec{E}(x,y,z)$,有连续的一阶偏导数，那么就有：

• 梯度：
  $$
  \nabla u=\frac{\part u}{\part x}\vec{i}+\frac{\part u}{\part y}\vec{j}+\frac{\part u}{\part z}\vec{k}
  $$

• 散度：
  $$
  \nabla \cdot \vec{E}(x,y,z)=\frac{\part \vec{E}_x}{\part x}\vec{i}+\frac{\part \vec{E}_y}{\part y}\vec{j}+\frac{\part \vec{E}_z}{\part z}\vec{k}
  $$

• 旋度：
  $$
  \nabla \times \vec{E}(x,y,z)= \begin{equation}
  \left|\begin{array}{cc}
  \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\
  \frac{\part}{\part x} & \frac{\part}{\part y} &\frac{\part}{\part z}\
  \vec{E}_x &\vec{E}_y &\vec{E}_z
  \end{array}\right|
  \end{equation}
  $$

拉普拉斯算子：
$$
\nabla ^2=\frac{\part ^2}{\part x^2}+\frac{\part ^2}{\part y^2}+\frac{\part ^2}{\part z^2}
$$

1.2.2 拉普拉斯算子

$$
\nabla ^2=\frac{\part ^2}{\part x^2}+\frac{\part ^2}{\part y^2}
$$

• 极坐标中的拉普拉斯算子
  $$
  x=r\cos\mathrm{\theta},y=r\sin\theta
  $$

$$
\nabla ^2 =\frac{1}{r}\frac{\part}{\part r}(r\frac{\part }{\part r})+\frac{1}{r^2}\frac{\part^2}{\part \theta^2}
$$

• 柱坐标系中的拉普拉斯算子
  $$
  x=\rho \cos \phi ,y=\rho \sin \phi ,z=z
  $$

  $$
  \nabla ^2=\frac{\part ^2}{\part \rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{\part}{\part \phi}+\frac{1}{\rho^2}\frac{\part^2}{\part \phi^2}+\frac{\part ^2}{\part z^2}
  $$

• 球坐标系中的拉普拉斯算子

$$
x=r\cos \phi \sin \theta ,y=r\sin \phi \sin \theta ,z=r\cos \theta
$$

$$
\nabla ^2=\frac{1}{r^2}\frac{\part}{\part r}(r^2\frac{\part}{\part r})+\frac{1}{r^2 \sin \theta}\frac{\part}{\part \theta}(\sin\theta\frac{\part}{\part \theta})+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\part^2}{\part \phi^2}
$$

第二章——基本的数学物理方程的建立(基础知识)

2.1 波动方程

2.1.1 弦振动问题

$$
T_2\sin\alpha_2-T_1\sin \alpha_1=T(\sin \alpha_2-\sin\alpha_1)=m\frac{\part^2 u}{\part t^2}
$$

当$\alpha_1,\alpha_1$趋于0的时候，我们就有：
$$
\frac{\part u}{\part x}|x=\tan \alpha_1=\sin \alpha_1 (\text{用的是等价无穷小})\
\frac{\part u}{\part x}|{x+\Delta x}=\tan \alpha_2=\sin \alpha_2 (\text{用的是等价无穷小})
$$
上面两者相减之后可以得到：
$$
\Delta(\frac{\part u}{\part x})=\frac{\frac{\part u}{\part x}}{\Delta x}\Delta x=\frac{\part^2 u}{\part x^2}\Delta x
$$

$$
T\frac{\part^2 u}{\part x^2}\Delta x=\rho\Delta x\frac{\part^2 u}{\part x^2}
$$

最后一个式子就是弦振动的运动方程，其中

2.1.2 强迫振动和阻尼振动

$$
\frac{\part^2 u}{\part t^2}=a^2(\frac{\part^2 u}{\part x^2}+\frac{\part ^2u}{\part y}+\frac{\part ^2u}{\part z^2})
$$

2.1.3 高频传输线问题

$$
\frac{\part^2u}{\part t^2}=a^2\frac{\part^2 u}{\part x^2}
$$

2.2 热传导方程

$$
\frac{\part u}{\part t}=a^2(\frac{\part ^2u}{\part x^2}+\frac{\part ^2u}{\part y^2}+\frac{\part ^2u}{\part z^2})+f(x,y,z,t)
$$

2.3 拉普拉斯方程

在二维新式的热传导方程中
$$
\frac{\part u}{\part t}=a^2(\frac{\part ^2u}{\part x^2}+\frac{\part ^2u}{\part y^2})+f(x,y,t)
$$
让稳态$\part u/\part t=0$,并且$f(x,z,t)=0$的情况下可以给出：
$$
\frac{\part^2 u}{\part x^2}+\frac{\part ^2u}{\part y^2}=0
$$

2.4 二阶偏微分方程（重点）

2.4.1 分类与标准形式

一维波动方程
$$
\frac{\part^2 u}{\part t^2}=a^2\frac{\part^2 u}{\part x^2}
$$
一维有缘波动方程
$$
\frac{\part^2 u}{\part t^2}=a^2\frac{\part^2 u}{\part x^2}+f(x,t)
$$
一维阻尼波动方程
$$
\frac{\part^2 u}{\part t^2}-a^2\frac{\part^2 u}{\part x^2}+2b\frac{\part u}{\part t}=0
$$
电报方程
$$
\frac{\part ^2 u}{\part t^2}-a^2\frac{\part ^2 u}{\part x^2}+2b\frac{\part u}{\part t}+cu =0
$$
一维热传导方程
$$
\frac{\part u}{\part t}=a^2\frac{\part^2 u}{\part x^2}
$$
一维有源热传导方程
$$
\frac{\part u}{\part t}=a^2\frac{\part ^2u}{\part x^2}+f(x,t)
$$
二维拉普拉斯方程
$$
\frac{\part^2 u}{\part x^2}+\frac{\part ^2u}{\part y^2}=0
$$
二维泊松方程
$$
\frac{\part^2 u}{\part x^2}+\frac{\part^2 u}{\part y^2}=f(x,y)
$$
通过以上式子我们可以整理出二阶线性双变量微分方程的 通式
$$
A\frac{\part^2 u}{\part x^2}+2B\frac{\part ^2 u}{\part x\part y}+C\frac{\part ^2u}{\part y^2}+D\frac{\part u}{\part x}+E\frac{\part u}{\part y}+Fu=G
$$
这里的$A,B,C,D,E,F,G$都是$x$和$y$的函数，但不包含$u$。

按照：
$$
\Delta=B^2-4AC
$$
可以把方程分成三类：

双曲线形状$\Delta >0$：
$$
\frac{\part u}{\part x \part y}=[….]\
\text{或}\
\frac{\part ^2 u}{\part x^2}-\frac{\part^2 u}{\part y^2}=[….]
$$
抛物线形$\Delta =0$：
$$
\frac{\part ^2 u}{\part x^2}=[….]\
\text{或}\
\frac{\part ^2 u}{\part y^2}=[…]
$$
椭圆形$\Delta <0$：
$$
\frac{\part ^2u}{\part x^2}+\frac{\part^2 u}{\part y^2}=[…]
$$
上面式子中的$[…]$代表不含有二阶偏导数项。

为了化简$A\frac{\part^2 u}{\part x^2}+2B\frac{\part ^2 u}{\part x\part y}+C\frac{\part ^2u}{\part y^2}+D\frac{\part u}{\part x}+E\frac{\part u}{\part y}+Fu=G$这个式子，我们引入以下变换：
$$
\xi=\xi(x,y),\eta=\eta(x,y)
$$
根据线性代数的知识为了保证其逆变换成立我们要求雅可比行列式满足：
$$
\begin{equation}
\left|\begin{matrix}
\frac{\part \xi}{\part x} & \frac{\part \xi}{\part y}\
\frac{\part \eta}{\part x} & \frac{\part \eta}{\part y}
\end{matrix}\right|
\end{equation}\ne 0
$$
我们现在要把上面的的$u(x,y)$变成$u(\xi,\eta)$的形式，那么:
$$
\frac{\part u}{\part x}=\frac{\part u}{\part \xi}\frac{\part \xi}{\part x}+\frac{\part u}{\part \eta}\frac{\part \eta}{\part x}\
\frac{\part u}{\part y}=\frac{\part u}{\part \xi}\frac{\part \xi}{\part y}+\frac{\part u}{\part \eta}\frac{\part \eta}{\part y}
$$
带入到原方程中可以得到
$$
a\frac{\part^2 u}{\part\xi^2}+b\frac{\part^2 u}{\part\xi\part\eta}+c\frac{\part^2 u}{\part\eta^2}+d\frac{\part u}{\part\eta}+fu=g
$$
其中
$$
\begin{array}{c}
a=A\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2}+2 B \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \xi}{\partial y}+C\left(\frac{\partial \xi}{\partial y}\right)^{2} \
b=A \frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial x}+B\left(\frac{\partial \xi}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial y}+\frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial x}\right)+C \frac{\partial \xi}{\partial y} \frac{\partial \eta}{\partial y} \
c=A\left(\frac{\partial \eta}{\partial x}\right)^{2}+2 B \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial \eta}{\partial y}+C\left(\frac{\partial \eta}{\partial y}\right)^{2} \
d=A \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}+2 B \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x \partial y}+C \frac{\partial^{2} \xi}{\partial y^{2}}+D \frac{\partial \xi}{\partial x}+E \frac{\partial \xi}{\partial y} \
e=A \frac{\partial^{2} \eta}{\partial x^{2}}+2 B \frac{\partial^{2} \eta}{\partial x \partial y}+C \frac{\partial^{2} \eta}{\partial y^{2}}+D \frac{\partial \eta}{\partial x}+E \frac{\partial \eta}{\partial y} \
f=F \
g=G
\end{array}
$$
可以看到，$a$和$c$有相同的形式，我们从这个特点中入手化简方程，为此我们考察相应的微分方程：
$$
A\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+2 B \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial W}{\partial y}+C\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}=0
$$
由于式子中平方项的存在，$W(x,y)$有两个特解，而且可以看出来，他们有常数解：
$$
W(x,y)=\gamma(常数)
$$
如果让两个常数解作为$\xi$和$\eta$,也就是说$\xi(x,y)=\gamma_1,\eta(x,y)=\gamma_2$,则$a=0,c=0$,在$W(x,y)=\gamma$中我们把$y$视为$x$的函数，利用隐函数求导法则:
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{\part W}{\part x}/\frac{\part W}{\part y}
$$
方程两边同时除以$(\frac{\part W}{\part y})^2$,利用带入到$A\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+2 B \frac{\partial W}{\partial x} \frac{\partial W}{\partial y}+C\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}=0$可以得到：
$$
A(\frac{d y}{d x})^2-2B\frac{dy}{dx}+C=0
$$
这个方程被称为是二阶线性方程$A\frac{\part^2 u}{\part x^2}+2B\frac{\part ^2 u}{\part x\part y}+C\frac{\part ^2u}{\part y^2}+D\frac{\part u}{\part x}+E\frac{\part u}{\part y}+Fu=G$的特征方程，曲线$\xi(x,y)=\gamma_1$和$\eta(x,y)=\gamma_2$，称为特征线，特征方程可以分解为两个方程：
$$
\frac{dy}{dx}=\frac{B+\sqrt{B^2-4AC}}{A}\
\frac{dy}{dx}=\frac{B-\sqrt{B^2-4AC}}{A}
$$
我们按照$\Delta =B^2-AC$的取值分为三种情况讨论：

(1)$\Delta =B^2-AC>0$

这种情况则，$a=c=0$,于是就可以直接化简了。

(2)$\Delta =B^2-AC=0$

这种情况可以推出来$a=b=0$,于是也可以化简了.

(3)$\Delta =B^2-AC<0$

这种情况，我们就令他的复数解为：
$$
\psi(x,y)=\psi_1(x,y)+i\psi_2(x,y)=\gamma
$$
然后取变换
$$
\xi=\psi_1(x,y),\eta=\psi_2(x,y)
$$
可以推出$a=c,b=0$,然后就可以化简了。

【例】将下面特里科密方程化为标准型
$$
y\frac{\part^2 u}{\part x^2}+\frac{\part u}{\part y^2}=0
$$
Solution:

对比通式可以知道：$A=y,B=0,C=1$，那么$\Delta =-y$.

（1）$y<0,\Delta >0$，此时有：
$$
\frac{dy}{dx}=\pm \frac{1}{\sqrt{-y}}
$$
可以解知：
$$
\frac{2}{3}(-y)^{3/2}=\pm x+\gamma
$$
我们就令:
$$
\xi(x,y)=\frac{2}{3}(-y)^{3/2}+ x,\eta(x,y)=\frac{2}{3}(-y)^{3/2}- x
$$
然后反解出$x,y$带入式子中就可以了，利用链式求导法则。

其他的情况同样的道理

2.4.2 常系数方程

若方程
$$
A\frac{\part^2 u}{\part x^2}+2B\frac{\part ^2 u}{\part x\part y}+C\frac{\part ^2u}{\part y^2}+D\frac{\part u}{\part x}+E\frac{\part u}{\part y}+Fu=G
$$
中的$A,B,C$均为常数，则$\Delta $也是常数，在这种情况下我我们就说二阶偏微方程是常系数二阶偏微分方程。化简方法和上述的例题一样。

【例】将非齐次方程
$$
\frac{\part ^2 u}{\part x^2}-4\frac{\part ^2 u}{\part x \part y}+4\frac{\part^2u}{\part y^2}=e^y
$$
化成标准型。

Solution:观察可以知道$A=1,B=-2,C=4$，则$\Delta =0$.
$$
\frac{dy}{dx}=-2
$$
那么就有

$y=-2x+c $ $\Longrightarrow $$\xi(x,y)=y+2x,\eta(x,y)=y$,需要说明的是这里$\eta(x,y)$要取和$\xi(x,y)$无关的函数,并且要满足其雅可比行列式不等于0.紧接着利用链式法则求导就行了，很简单。

2.4.5 定解问题

我们在推导弦振动方程时,假定弦的两个端点固定在z=0和z=L而弦在初始t=0时刻的位移是$\phi$(z),最终得到弦的运动方程。利用这些条件还不能完全确定任意位置r(0<1<L)的弦点在任意t时刻离开其平衡位置的位移山(zt),根据常微分方程的知识我们知道,方程的时间导数是二阶的,要确定问题的特解还需要知道弦的初始速度。如果进一步知道弦的初始速度为$\psi(x)$,我们把方程与所有的条件列出来,便是
$$
\left{\begin{array}{ll}
\text{范定方程}\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} & (0<x<L, t>0) \
\text{初始条件}\left.u\right|{t=0}=\phi(x),\left.\quad \frac{\partial u}{\partial t}\right|{t=0}=\psi(x) & (0 \leqslant x \leqslant L) \
\text{边界条件}\left.\quad u\right|{x=0}=0\left.\quad u\right|{x=L}=0 & (t>0)
\end{array}\right.
$$