markdowmn里面要用
\\\\表示换行,Markdown里本来需要再添加个\来转义,但是此处比较特殊,需要多添加一个,因为原本一个\就需要在前面家一个\,所以一共需要4个\才能在Markdown上实现。
1.合同变换定义
若$C^T A C=B$,其中$C$为可逆矩阵，而我们又知道可逆矩阵可以分解为一系列的初等矩阵的乘积，即：
$$
C=Q_1 Q_2 …Q_m
$$
$Q_i $均为初等矩阵,则原式可以写为：
$$
(Q_1 Q_2 … Q_m)^T A Q_1 Q_2…Q_m=B
$$
2.复习初等矩阵
1.初等矩阵的定义：由单位阵$I$经过一次初等变换得到的矩阵
2.三种初等矩阵；
（1）交换$I$的$i,j$两行（列），得到$I(i,j)$，并且有：
$$
I(i,j)=I(i,j)^T
$$
用$I(i,j)^T$左乘$A$相当于交换$A$的$i,j$两行
用$I(i,j)$右乘$A$相当于交换$A$的$i,j$两列
（2）非零常数$k$乘以$I$的$i$行，得到$I(i(k))$，并且有：
$$
I(i(k))=I(i(k))^T
$$
用$I(i(k))=I(i(k))^T$左乘$A$相当于将$A$的第$i$行乘以常数$k$
用$I(i(k))=I(i(k))$右乘$A$相当于将$A$的第$i$列乘以常数$k$
（3）$I$的第$j$行的$k$倍加到第$i$行，得到$I(i,j(k))$，注意此时不是对称矩阵，我们有：
$$
I(i,j(k))^T=I(j,i(k))
$$
举例：
$$
I(3,2(k))=\begin{bmatrix}
1& 0& 0& 0 \\
0& 1& 0& 0\\
0 & k& 1& 0 \\
0& 0& 0& 1
\end{bmatrix},
I(2,3(k))=
\begin{bmatrix}
1& 0& 0& 0 \\
0& 1&k &0 \\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
=I(3,2(k))^T
$$
用$I(i, j(k))^T$左乘$A$，相当于将$A$ 的第$i$ 行的$k$倍加到第$j$ 行
用$I(i, j(k))$ 右乘$A$，相当于将$A$ 的第$i$ 列的$k$倍加到第$j$ 列
3.合同变换
由于：
$$
(Q_1 Q_2 … Q_m)^T A Q_1 Q_2…Q_m=B
$$
$$
I Q_1 Q_2…Q_m=C
$$
将上述两个式子合并有：
$$
(Q_1 Q_2 … Q_m)^T
\begin{bmatrix}
A\\
I
\end{bmatrix}
Q_1 Q_2…Q_m=
\begin{bmatrix}
B\\
C
\end{bmatrix}
$$
当我们用一系列的初等列变换和对应的初等行变换把对称矩阵$A$ 化为矩阵$B$时，相应的列变换就将单位矩阵$I$变成合同变换矩阵$C$
$$
\begin{bmatrix}
A\\
I
\end{bmatrix}\xrightarrow[列变换]{
列变换+行变换}
\begin{bmatrix}
B\\
C
\end{bmatrix}
$$
注意此时的列变换+行变换是同时进行的！
4.例子
设矩阵:
$$A=
\begin{bmatrix}
1&-1/2&-1/2\\
-1/2&1&-1/2\\
-1/2&-1/2&1
\end{bmatrix}
,
B=
\begin{bmatrix}
1&1&0\\
1&1&0\\
0&0&2
\end{bmatrix}
$$
求合同变换矩阵$C$，使得$C^TAC=B$.
